２０２６年４月１９日(日)に数学検定１級を受験します！
マセマのキャンパスゼミ「微分積分」を進めています。
つまずきポイント
\(f_{xy}\) と \(f_{yx}\) が共に連続ならば、\(f_{xy}\)=\(f_{yx}\)が成り立つという「シュワルツの定理」が出てきたのですが、
「なぜ偏微分の順番を入れ替えていいのか」が
全く納得できず気持ち悪い
と感じました。
残念ながらマセマの教材には導出過程は紹介されていませんでした。ちなみに、
\(f_{xy}\)=\(f_{yx}\)は、 \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]とも表現できます。どうしたか？
グーグル検索で日本語の資料探し
〇KIT数学ナビゲーション「偏微分の順序交換」（最終閲覧日_20260407） であまり省略なく証明の過程が示されており、理解の助けになりました。
〇また、検索して色々見ていると、シュワルツの定理（Schwarz’s theorem）はクレローの定理（Clairaut’s theorem）、ヤングの定理（Young’s theorem）と呼ばれることも知りました。 （参照：wikipedia「Symmetry of second derivatives」（最終閲覧日_20260406））
英語の pdf 資料を検索
「clairaut’s theorem proof pdf」「schwarz theorem proof pdf」といったフレーズで検索したところ、海外の大学の授業資料っぽいものがいくつか出てきました。
例えば、次の二つ
〇Math 320-3: Lecture Notes Northwestern University, Spring 2015 （最終閲覧日_20260407）
〇SCHWARZ THEOREM (mixed partial derivatives) Oswaldo Rio Branco de Oliveira （最終閲覧日_20260406）こちらは「Universidade de S˜ao Paulo」と標題にあったので、ブラジルのサンパウロ大学の資料のようです。
資料内には「the mean value theorem」すなわち平均値の定理が証明に使われていました。
pdfで検索したのは、大学の講義資料を見つけやすいからです。
ちなみにこれは、三宅香帆さんのpodcast『視点倉庫』「#44 忙しい大人が勉強するためには何が必要なのか？【ゲスト：ヨビノリたくみ】」にてヨビノリたくみさんが紹介していたテクニックです。
日本の大学は授業資料をアップしない、できないことが多いらしいのですが、海外の大学はむしろアップしなさいというスタンスが通常で、先生の評価にも影響することだそうです。
chatGPTにも「平均値の定理」を使って証明する方法を質問
〇 chatGPTにも平均値の定理で証明する方法を聴いてみました。
chatGPTの解説とKIT数学ナビゲーション「偏微分の順序交換」を参照しながら、
紙面に手で書いて、
じっくり式変形を追うことで、それなりに満足できるレベルで理解できたと思います。
シュワルツの定理の証明のポイント
〇平均値の定理を２回×２＝４回使う。 \(f_{xy}\)で２回、\(f_{yx}\)で２回〇平均値の定理を使いやすいように g(x) や h(x) といった関数記号を追加で使う
〇平均値の定理を４回使うので、未知数が4つも出てきて
「これ大丈夫か？」と不安になりますが、
最後に極限を取るとそれらの未知数がすべて消える設計になっている
〇 「\(f_{xy}\)と\(f_{yx}\)が共に連続ならば、」という条件は、最後に二変数の極限が収束するために必要。
証明は全部やる必要があるのか？
シュワルツの定理の証明は、
行数が思った以上に長く
それなりに時間とエネルギーを要しました。
数学科に進む人であればまだしも、数学科以外の物理や化学、まして工学系に進む人がこういった証明の理解を全て妥協なくやっていたら、
いつまでたっても実用、応用を始めることができません。
やはりどこまでの理解でOKとするかというのは、
人それぞれあっていいと思います。
厳密な証明を理解することに重きを置く人もいれば、
厳密性は数学者を信頼して任せておくとして、
実用、応用に重きを置く人がいてもいいでしょう。
スマホの仕組みを完全に理解してからスマホを使おうなんて人はいないですよね💦
私の場合は、数検１級合格という目標（大学数学へのリベンジという目的）があり、
それにプラスに働くかどうかで判断しています。
今回で言えばなぜシュワルツの定理は成り立つのかという理屈がわかってないと気持ち悪いし、
この気持ち悪さを放っておくとかえって学びに支障が出そうだったので、
頑張って証明の導出過程を追ってみました。
導出過程を追うことで得られたもの
今回のように定理の導出は、抽象的な議論が多く、
時に一行を理解するのにも相当な時間がかかってしまうことがあり、
エネルギーを要します。
ただ、それだけエネルギーを割いて理解できた時の
腹落ち感は爽快ですし、
定理を罪悪感なくストレスなく使えるようになり、覚えるのも楽になります。
そしてその公式の前提条件や、使える範囲の理解が進むというメリットもあります。（今回で言えば混合偏微分の連続性という前提）
導出過程で使う別の定理の理解も深まったりします。（今回で言えば平均値の定理）
シュンティの結論
理解の深さは戦略的に選んでいい
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