２０２６年４月１９日(日)に数学検定１級を受験します。
受験に向けてマセマの微積を進めています。
ノートは４冊目に突入。
つまずきポイント
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テイラー展開（マクローリン展開）に階乗（!）記号が唐突に出てくるのが
気持ち悪い
場合の数や確率の分野で順列の総数を求める際に出てきた階乗（!）記号が、
なぜ関数や微分の分野に出てくるのか？
あまりに奇妙で素通りはできませんでした。
どうしたか？
『高校数学からのギャップを埋める大学数学入門 蔵本貴文著』（p.137 ~ p.138）を読んで腑に落ちました。
テイラー展開はある関数
$$ y = f(x) $$ が
の多項式で表せるという仮定が出発点となる考え方です。
すなわち
$$ y = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots $$ $$ + a_n(x-a)^n + \cdots $$と仮定します。この仮定の上であれば、
$$f(a) = a_0$$ $$f'(a) = a_1$$ $$f”(a) = 2×a_2$$ $$f^{(3)}(a) = 3×2×a_3$$$$\vdots$$
$$f^{(n)}(a) = n×(n-1)× \cdots ×3×2×a_n$$が成り立ちます。よって、
$$a_0 = f(a)$$ $$a_1 = f'(a) =\frac{f'(a)}{1!} $$ $$a_2=\frac{f”(a)}{2}=\frac{f”(a)}{2!} $$ $$a_3=\frac{f^{(3)}(a)}{3×2}=\frac{f^{(3)}(a)}{3!}= $$$$\vdots$$
$$a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n×(n-1)× \cdots ×3×2}$$ $$=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$以上より、
<テイラー展開>
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$
※ a = 0 の時をマクローリン展開という
階乗が出てくる理由は、
「微分するたびに指数が前に降りてきて、最終的に n! が現れるから」
つまり、それを打ち消すために n! で割っているだけだったのです。
同じ階乗記号でも、順列とテイラー展開では由来が全く違うところにあることが分かり、すっきりしました！
目的外の読書が効いた
今回役立った本は微積の解説書ではなく、位置づけとしては大学数学の入門書でした。
テイラー展開についての疑問を解決するために読んでいた本ではありませんでしたが、棚ぼた的に疑問を解決することができました。
セレンディピティ（serendipity）という言葉があります。
『広辞苑第７版』には「思わぬものを偶然に発見する能力。幸運を招き寄せる力。」とあります。
その時は何の役立つかわからなかったり、違うことに役立てようとして取り組んだことが思わぬ場面で役に立つということがあります。
今回はそのパターンでした。
シュンティの結論
累乗関数の微分を繰り返すと階乗が出てくる
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