積分公式多すぎて覚えられない問題💦
覚えてもすぐに忘れる😢
頑張って覚えても、数日後にはあやふや…。
そんな経験、誰しもあると思います。
実は私は「ほとんど丸暗記はしない」方針で対処しています。
つまずきポイント
積分公式が多すぎる💦
２０２６年４月１９日(日)に数学検定１級を受験します。
それに向けてマセマのキャンパスゼミ『微分積分』を進めています。
テキストには、積分計算の基本公式として１２個、応用公式として４個紹介されています。
基本公式のうち、８つは高校数学の範囲で対応可能ですが、下記８個は新規ものすなわち大学数学で習うものでした。
❶逆三角関数２つ
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x + C\tag{1} \] \[ \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1} x + C\tag{2} \]➋双曲線関数２つ
\[ \int \sinh x \, dx = \cosh x + C\tag{3} \] \[ \int \cosh x \, dx = \sinh x + C\tag{4} \]❸❶を使って導ける２つ
\[ \int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a}tan^{-1} x + C\tag{5} \] \[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C\tag{6} \]➍本質は一つに集約できる２つ
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + α}} \, dx \] \[ = \log \left| x + \sqrt{x^2 + α} \right| + C\tag{7} \] \[ \int \sqrt{x^2 + α} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + α} \] \[ + \frac{α}{2} \log \left| x + \sqrt{x^2 ＋ α} \right| + C\tag{8} \]本当に覚えるべきこと＝復元できる知識
こういった公式が出てきた際に、
正確な記憶を長期間保持できる自信があれば丸暗記してしまうという戦略はありでしょうが、そんな自信は一ミリもありません。
ではどうするか？
私は極力丸暗記しないでいい戦略を取り、これだけはというものだけ、集中的に暗記するようにします。すなわち、
本当に覚えるべきことを吟味する
そのうえで覚えるべきことを覚えるようにします。
腹落ちして理解する
本当に覚えるべきことというのは、ここさえ覚えていれば他は復元ができる知識です。
人間の記憶というのは不安定であまり信用できないものですが、
腹落ちして理解したことは、再現性があり、信頼できます。
❶逆三角関数の積分
⑴、⑵は逆三角関数の積分です。
⑴、⑵は覚えるのではなくて、逆関数の定義から毎回自分で導出します。
例えば⑴をざっくり実演します。
\[ y = sin^{-1} x\]とすると、逆関数の定義から、
\[ x = siny\] \[ \frac{dx}{dy}=cosy \] \[ \frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{cosy} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosy} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]よって、
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{d(sin^{-1} x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x + C\tag{1} \]毎回導出するのは手数もかかり、最初は面倒ですが、何度もやっているとすらすら導出できるようになってきます。
また導出を何度も何度もやっていると、公式は結局覚えてしまいます。
しかも丸暗記の時と違い、導出の過程も納得できており、どうしてその公式が成り立つか理解できているので、
なぜそれが成り立つかもわからないのにとりあえず覚えるという時に感じる違和感がなく、ストレスがないのは大きいです。
➋双曲線関数の積分
➋は、h（読みかた：ハイパボリック）という記号が双曲線関数を表すということ、
そして双曲線関数の定義を覚えていれば当たり前の結果だと納得できるので、覚える必要がありませんでした。
❸逆三角関数（合成関数）の積分
❸の⑸と⑹はそれぞれ❶の⑴と⑵が導出できれば、
合成関数の微分法を使って
導出できるので覚える必要がなかったです。
➍逆双曲線関数の積分
➍の(7)と(8)については、(8)は部分積分すれば、結局(7)から導出できるので、実質⑺ができればOK。
では⑺はというと、テキストには記載がありませんでしたが、
chatGPTやネットで調べたところ逆双曲線関数（双曲線関数の逆関数）の定義から、
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \log \left| x + \sqrt{x^2 + 1} \right| + C\ \]が導き出せることがわかりました。実際に手計算でも導き出せました。
後は、合成関数の微分を使えば⑺も導けました。
導出の際に
\[ \log \left| \sqrt{α} \right| \ \]の項が出てきますが、これは積分定数に吸収されるため通常は省略されているということも知れました。
つまるところ、➍の⑺と⑻は双曲線関数と逆関数の定義さえ覚えていれば導出可能でした。
覚えることは最小限にしたうえで実践力を磨く
たしかに、学校の定期試験のような範囲が狭い試験では、
丸暗記戦略は大いに役立つと思います。
しかし、数学検定１級の範囲は広く、
いつも微積の問題演習ばかりやっているわけにはいきません。
あいまいな記憶頼りにしない
丸暗記という戦略を取った場合、少しでも微積分から離れると、
途端に記憶が風化し、
頼りないあいまいな記憶で勝負せざるを得なくなってしまいます。
あいまいな記憶ほど試験で足を引っ張り、自滅を導くものはありません。
私がこのようにして覚えることを最小限にするのは、
例え公式を忘れていても自力で導出できるようにしておくことで、
そういったあいまいな部分が生じないようにするためです。
そしてもちろん大学1年生で大挫折した大学数学へのリベンジという意味でも、
導出過程の理解が意義のあることであることは言うまでもありません。
「覚えた量」ではなく瞬時に「再現できる力」で戦う
とはいえ、試験中に公式を導出する時間の余裕はないのが普通でしょう。
だから、具体的な問題に数多く当たり、
問題を見て数秒でどの公式を使うか判断できるように脳内に回路を作っていく必要があります。
そして、鬼のように反復を繰り返すと、
結果的に丸暗記もできてしまうことがほとんどです。
単なる丸暗記と違い、
理解ができたうえで、
（丸暗記したのと同じくらい）必要な知識を瞬時に活用し、公式を再現できるという盤石な態勢が出来上がっていきます。
シュンティの結論
忘れた時のために忘れちゃいけないことがある
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