数学検定１級の合格を目指して勉強を進めています。
次回は２０２６年７月２５日に受験します。
数検１級の範囲は広く、大学数学が多くを占めています。
その中で最近出会ったのが「モーメント母関数」です。
初めて見たときの感想は、
「なんだこれは？」
でした。
何でこんなところに自然対数が？
高校までの確率統計では、足し算や掛け算が中心です。
しかし、モーメント母関数では突然
という式が登場します。
確率なのに指数関数。
しかも自然対数の底である e が唐突に登場します。
なぜこんなものを考える必要があるのか、
皆目見当がつきませんでした。
ところが学習を進めるうちに、
モーメント母関数は期待値や分散などを求める際に
非常に便利な道具であることが分かってきました。
そうなると次に気になるのは、
「誰がどうやってこんなものを思いついたのか」
ということです。
そこで少し調べてみました。
モーメントとは何か
確率統計では、確率分布の特徴を表すために様々な量が使われます。
例えば、
- 期待値
- 分散
- 歪度
- 尖度
などです。
これらはそれぞれ、確率変数のモーメントと深い関係があります。
原点まわりの k 次モーメントというものが、
で定義されます。
また、平均 μ のまわりで考えた
は、μ まわりの k 次モーメント（中心モーメント）と呼ばれ、
分散や歪度、尖度などを定義する際に用いられます。
例えば、
- E[X] は原点まわりの１次モーメント
- V[X] は μ まわりの２次モーメント
- 歪度は３次標準化モーメント
- 尖度は４次標準化モーメント
に当たります。
よってさまざまな次数のモーメントを調べることで、
確率分布の特徴を知ることができます。
しかし、そのたびに個別に計算するのは大変です。
そこで、
「すべてのモーメントを一度に扱える関数を作れないか」
という発想が生まれます。
母関数とは何か
母関数（generating function）は生成関数とも呼ばれます。
細かな定義は少し難しいのですが、イメージとしては
「数列や情報を生み出す（生成する）親となる関数」
です。
モーメント母関数の場合は、
という無数のモーメントを生み出す役割を持っています。
モーメントを生成する母なる関数だから
「モーメント母関数」という名前なのです。
なぜ 自然対数の底 e を使うのか
最も不思議だったのはここです。
なぜ
なのか、つまり自然対数の底 e が登場するのか？
その理由は、指数関数のマクローリン展開を見ると分かります。
ここで期待値を取ると、
となります。
なんと、
がすべて一つの関数の中に埋め込まれているのです。
つまり、
という関数を用意しておけば、
微分することで各次数のモーメントを取り出せてしまうのです。
最初は意味不明に見えた e の存在でしたが、
実は「すべてのモーメントを一つにまとめるための仕掛け」だったのです。
マクローリン展開の威力を実感
今回調べていて特に印象に残ったのは、マクローリン展開の威力です。
指数関数を展開しただけで、
という無限個の情報を一つの関数に押し込めることができます。
平均、分散、歪度、尖度といったそれぞれ異なる指標が、
モーメント母関数さえ分かれば求められてしまいます。
理系の大学１年生が基礎数学でテイラー展開、マクローリン展開
を学ぶ意義が少しわかりました。
私が大学１年の時は、関数を何でもかんでも多項式にして、
何が楽しいんだよ？と思っていましたが、、、。
学べば学ぶほど、基礎の重要性というのを思い知らされます。
モーメント母関数は単なるツールではない
さらに、モーメント母関数が存在する場合には、
モーメント母関数が等しいことと、確率分布が等しいことが同値
であることも学びました。
モーメント母関数は便利なツールであるばかりか、
確率分布を別の形で表した影のような（？）存在だというイメージを
今では持てています。
便利さが誕生した背景を知る
最初は
「なぜ確率統計で e が出てくるのだろう」
と不思議に思っていました。
しかし調べてみると、そこには
「すべてのモーメントを一つの関数で管理できないか」
という非常に合理的な発想が隠れていました。
数検１級の勉強をしていると難しい概念が次々と出てきますが、
その背景にある発想を調べてみると、
数学者たちの工夫や知恵が見えて面白いものです。
シュンティの結論
モーメント母関数は、
確率分布の情報を一つの関数に押し込めてしまう、
数学者の発想力のすごさを感じる道具だった。
参考文献
●『確率統計 キャンパス・ゼミ 改訂7』馬場敬之 マセマ出版社
●Japan Knowledge『世界大百科事典』：母関数
●『スッキリわかる確率統計 定理のくわしい証明つき』皆本晃弥 近代科学社 2015
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