【数検１級】東大卒でもつまずいた「逆関数」記号の落とし穴 #01

２０２６年４月１９日 (日) 数検１級を受験します。
それに向けた勉強を本格的に開始したのですが、逆関数記号という思わぬところでつまずきました。下記が３月２日(月)週にやったことです。

・キャンパス・ゼミ「微分積分」（マセマ出版者）を６０ページほど進めた
・高校の内容ですでに解ける部分は飛ばすが、忘れている箇所は学び直す
・毎回まずは前回やった問題をやり直す所から始める

微分積分から始めた理由

・数検1級の過去問を見ると微分積分はほぼ必ず出題されているから
・微分方程式を解くための基礎にもなるから

そしてもう一つ大事な観点として、
・問題集を見ると高校数学の内容も入っていた、すなわちすでにできる内容が載っていて安心感があったからということがあります。

勉強し始めというのは、今日もこれだけ進んだなという感覚がモチベーションに大きく影響します。ある程度初めからわかる内容が載っている問題集を使うことで、早く１冊を終えることができ、学習に弾みをつけることができます。

元々のモチベーションが高くなければ半分以上は解ける問題が載っている問題集を使うのがいいと思います。

つまずきポイント

逆関数の記号の解釈で行き詰ってしまいました。

$y=sin^-1(x)$

これが、$y=sinx$の逆関数というのはテキストの説明で理解できました。
$y=sin^-1(x)$と書かれていたら、

$x=siny$

が成り立つ、ここまではOKです。そして私はこれを踏まえて、

$y=sin^-1(2x)$

が意味するのはy=sin2xの逆関数だと解釈していました。

ところが、テキストの演習問題では、$y=sin^-1(2x)$のとき、$x=sin2y$ ではなく、

$2x=siny$

となっていたのです。どういうことや？？？手が止まってしまいました。

混乱を解消するためにやったこと

❶テキスト内の逆関数の定義・説明を確認
➋高校の教科書で関数、逆関数の定義を確認
❸電子辞書で逆関数の定義を確認
➍ネットで逆関数の定義を確認
➎図書館の本で逆関数の定義を確認

ここまで調べても納得できる説明に出会えませんでした。最後にChatGPTに質問したところ、ようやく腑に落ちる説明を得ることができ、問題も解けるようになりました。

❻chatGPTに私がつまずいた問題について質問

結論から言うと、$y=sin^-1(2x)$　は、
$y=sinx$（または$y=arcsin(2x)$）の逆関数を作ってからxのところに$2x$を代入するというのが正しい解釈のようです。

$x=siny$の$x$を$2x$ にするので、$2x=siny$となるわけです。

一番欲しい回答をくれたのはAI

今回いろいろ調べましたが、
私が疑問に思っていたポイントに対して
一番納得できる説明をしてくれたのはAIでした。

ただ、数学の本で同じ説明を確認できていないと不安です。もし生徒に授業で聴かれても自信を持って答えられないので、いずれ文献でも確認したいと思っています。

得られた気づき

逆関数の記号はそもそも$y=sin^-1(x)$と$y=1/sinx$を混同してしまいそうな紛らわしい記号です。そこに来てさらに今回私が困惑したつまずきポイントがありました。

数学はとても厳密な学問ですが、今回のようにその記号については紛らわしい場合があるため、やはり、疑問に思ったら定義を正確に把握することに徹するのが賢明だと思いました。

シュンティの結論

困ったら定義に戻る