数検１級合格に向けて、線形代数の学習を進めています。
抽象度が高い内容になると
かなり苦戦しています。
その中でも特につまずいたのが、
「ベクトル空間（線形空間）とは何なのか」
という部分でした。
つまずきポイント
ベクトル空間（線形空間）の存在意義がよくわからない！
マセマの『キャンパス・ゼミ』で定義を読み、問題演習にも取り組みましたが、
「結局ベクトル空間って何なのか、何のためにあるのか」
がなかなか掴めませんでした。
ですが、
YouTubeチャンネル「ヨビノリ（予備校のノリで学ぶ大学数学・物理）」で、
ベクトル空間を扱った全３回の動画を視聴し、
さらに『予備校のノリで学ぶ大学数学 ツマるポイントを徹底解説』
も熟読したことでかなり理解が進みました。
本は動画と同じ内容なのですが、
本を熟読すると理解の深まり方が違うなと感じます。
ヨビノリたくみさんには毎度本当にお世話になっております。
気づいたこと
ベクトル空間というのは、
高校までに習った
「向きと大きさを持つベクトル（幾何ベクトル）」で成り立っていた性質を、
幾何ベクトルに限定せず、
もっと広い対象でも成り立つように定義し直したものであり、
それによってできた集合だと理解しました。
つまり、幾何ベクトルだけでなく
- 関数
- 多項式
- 行列
などに対しても、
「ベクトルっぽい計算」ができるようにしたものです。
これによって、
幾何ベクトルだけに縛られず、
より一般的な議論ができるようになる。
ここに、ベクトル空間の魅力があるのだと思いました。
さらに混乱したこと
ただ、ベクトル空間の例として関数を考えると
急に頭が混乱しました。
例えば、を見ると、
ついと普通の実数計算のように扱いたくなってしまいます。
もちろん実際には、
「関数の加法」
という操作をしているので、
実数の計算と完全に同じ感覚で扱ってはいけません。
しかし実数の加法と同じような見た目をしているので、
- よく知っている実数の加法
- まだ慣れていない関数の加法
これらの区別が難しいなと感じました。
私なりのイメージ
私はベクトル空間を、
「高校で習う幾何ベクトルの特徴を抽象化したもの」
として理解することにしました。
例えば、
サッカーしか知らない人が、
「サッカーの面白さを残しながら、別のスポーツも作れないか」
と考えたとします。
そこで、
- ボールを使う
- 2チームで対戦する
- ゴールがある
- 人数を揃える
といった特徴を残したまま、
別の競技を考える。
すると、
- バスケットボール
- ハンドボール
- ラグビー
など、
「似ているけれど別物」
なスポーツが生まれます。
ベクトル空間もこれに少し似ていて、
高校までの幾何ベクトルの性質を保ちながら、
より広い対象へ拡張することで、
世界が広がるというイメージです。
正直なところ
ただ、今の段階では、
まだ「腹落ちした」と言えるほどではありません。
やはりいつものように、
具体的な問題演習を通して、
少しずつ感覚を掴んでいく必要があると感じています。
シュンティの結論
ベクトル空間とは、
高校で習った幾何ベクトルの性質を、
より広い対象でも使えるように抽象化して
定められた集合
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